TRIANGLE,DROITE DES MILIEUX

CHAPITRE 2 : TRIANGLE, DROITE DES MILIEUX

1. Droite des milieux :

a) Pour démontrer que deux droites sont parallèles :

Propriété :

Si dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.

Exemple :

Dans le triangle ABC,

puisque I est le milieu de [AB]

et puisque J est le milieu de [AC],

alors (IJ) est parallèle à (BC).

b) Pour démontrer qu’un point est le milieu d’un segment :

Propriété :

Si dans un triangle, une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté, 
alors elle passe par le milieu du troisième côté.

Exemple :

Dans le triangle RST,

puisque M est le milieu de [RT]

et puisque (MN) est parallèle à (ST)

alors N est le milieu de [RS]. 

c) Pour calculer une longueur :

Propriété : 

Si dans un triangle, un segment joint les milieux de deux côtés,
 alors sa longueur est la moitié de la longueur du troisième côté.

Exemple :

Dans le triangle KLF,

puisque I milieu de [KF]

et puisque J milieu de [FL]

alors : 
 $IJ$=$\frac{KL}{2}$

2. Triangle et parallèles :

Propriété : 

Si dans un triangle ABC, M est un point du segment [AB], 
N est un point du segment [AC] et les droites (MN) et (BC) sont parallèles, 
alors on a l’égalité des quotients :
$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AN}{AC}$=$\frac{MN}{BC}$

Exemple :

Dans le triangle ABC,

N est un point de [AC],

M est un point de [AB]

puisque (NM) est parallèle à (BC)

alors, d’après le théorème de Thalès, on a :

 $\frac{AM}{AB}$=$\frac{AN}{AC}$=$\frac{MN}{BC}$