Exercices sur les fonctions affines
1.Introduction
Une fonction affine est une fonction mathématique qui peut être représentée par une équation de la forme $$f(x) = mx + b$$, où $m$ et $b$ sont des constantes réelles. Dans cette équation, $x$ est la variable indépendante et $f(x)$ est l'mage de $x$ par$f$..L'exercice d'une fonction affine consiste généralement à comprendre et à manipuler cette équation pour résoudre divers problèmes. Ces exercices permettent de développer des compétences en calcul algébrique, en graphique et en interprétation des résultats.
L'un des aspects importants d'un exercice de fonction affine est la détermination du coefficient de pente m. Ce coefficient indique comment la fonction évolue à mesure que la variable indépendante x change. Un coefficient de pente positif signifie que la fonction augmente à mesure que x augmente, tandis qu'un coefficient de pente négatif signifie que la fonction diminue à mesure que $x$ augmente.
L'autre aspect clé est le terme constant b, également appelé l'ordonnée à l'origine. Il représente la valeur de $f(x) $ lorsque $x$ est égal à zéro. Il indique l'emplacement de la fonction sur l'axe vertical.
Les exercices sur les fonctions affines peuvent inclure des problèmes tels que la détermination de la pente à partir de deux points donnés, la recherche de l'équation d'une droite à partir d'une pente et d'un point, ou encore la résolution de systèmes d'équations linéaires impliquant des fonctions affines.
Ces exercices sont importants pour comprendre les concepts fondamentaux des fonctions linéaires et pour développer des compétences en algèbre et en analyse graphique. Ils sont également utilisés dans de nombreux domaines tels que l'économie, la physique et l'ingénierie pour modéliser des phénomènes qui suivent des tendances linéaires.
2.Enoncés
Exercice 1 :
Soit la fonction affine $f(x) = 3x + 2$. Trouvez l'image de $4$ par cette fonction.
Exercice 2 :
Soit la fonction affine $g(x) = -2x + 5$. Trouvez l'antécédent de $-3$ par cette fonction.
Exercice 3 :
Tracez le graphique de la fonction affine $h(x) = 2x - 1$. Indiquez la pente et l'ordonnée à l'origine de cette fonction.
Exercice 4 :
Soit la fonction affine $f(x) = 4x + 3$ et la fonction $g(x) = -2x + 1$. Trouvez le point d'intersection de ces deux fonctions.
Exercice 5 :
Trouvez l'équation de la droite passant par les points $A(2, 5) $ et $B(4, 9)$.
Exercice 6 :
Résolvez le système d'équations suivant :
$f(x) = 2x + 3$
$g(x) = -3x + 2$
Exercice 7 :
Trouvez la pente de la fonction affine $ h(x) = -0,5x + 4$.
Exercice 8 :
Soit la fonction affine $f(x) = -3x + 7$. Trouvez les valeurs de x pour lesquelles $f(x) = 0$.
3.Solutions
Exercice 1 :
La fonction $f(x) = 3x + 2$. Pour trouver l'image de $4$, il suffit de remplacer x par 4 dans l'équation :
$f(4) = 3(4) + 2 = 12 + 2 = 14$.
Donc, l'image de 4 par la fonction est $14$.
Exercice 2 :
La fonction $g(x) = -2x + 5$. Pour trouver l'antécédent de -3, on remplace $g(x)$ par $-3$ dans l'équation :
$-3 = -2x + 5$
$-2x = -3 - 5$
$-2x = -8$
$x = (-8) / (-2) = 4$.
Donc, l'antécédent de -3 par la fonction est $ 4$.
Exercice 3 :
La fonction $h(x) = 2x - 1$. Le graphique de cette fonction est une droite avec une pente de $2$ et une ordonnée à l'origine de $-1$.
Exercice 4 :
Nous avons les fonctions $f(x) = 4x + 3$ et $g(x) = -2x + 1$. Pour trouver le point d'intersection, nous égalisons les deux fonctions :
$4x + 3 = -2x + 1$
$6x = -2$
$x = \dfrac{(-2)}{ 6 }= \dfrac{-1}{3}$.
En substituant $x$ dans l'une des fonctions, nous trouvons y :
$f(\dfrac{-1}{3}) = 4\times(\dfrac{-1}{3}) + 3 =\dfrac{ -4}{3} + 3 = \dfrac{5}{3}$.
Donc, le point d'intersection des deux fonctions est $ (\dfrac{-1}{3}, \dfrac{5}{3})$.
Exercice 5 :
Les points donnés sont $A(2, 5)$ et $B(4, 9)$. Pour trouver l'équation de la droite passant par ces deux points, nous utilisons la formule de la pente :
$m =\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$m =\dfrac{9-5}{4-2} = \dfrac{4}{2}= 2.$
Maintenant, nous pouvons utiliser la formule générale d'une fonction affine pour trouver l'ordonnée à l'origine (b) :
$$y = mx + b$$
$$5 = 2(2) + b$$
$$5 = 4 + b$$
$$b = 5 - 4 = 1.$$
Donc, l'équation de la droite est $y = 2x + 1$.
Exercice 6 :
Le système d'équations est :
$$f(x) = 2x + 3$$
$$g(x) = -3x + 2$$
Pour résoudre ce système, nous égalisons les deux fonctions :
$$2x + 3 = -3x + 2$$
$$5x = -1$$
$$x = \frac{(-1)}{5}.$$
En substituant x dans l'une des fonctions, nous trouvons y :
$$f(\dfrac{-1}{ 5}) = 2\times(\dfrac{-1}{ 5}) + 3 =\dfrac{ -2}{5} + 3 = \dfrac{13}{5}.$$
Donc, la solution du système est $ x = \dfrac{-1}{ 5} $ et $y = \dfrac{13}{5}$.
Exercice 7 :
La fonction $h(x) = -0,5x + 4$ a une pente de $-0,5$.
Exercice 8 :
La fonction $f(x) = -3x + 7$. Pour trouver les valeurs de x pour lesquelles $f(x) = 0$, on égale $f(x)$ à zéro :
$$-3x + 7 = 0$$
$$-3x = -7$$
$$x = \dfrac{-7}{ -3} = \dfrac{7}{ 3} .$$
Donc, les valeurs de x pour lesquelles $f(x) = 0$ sont $x = \dfrac{7}{ 3}$.
Ces exercices vous permettront de pratiquer différents aspects des fonctions affines, tels que la détermination des images, des antécédents, la résolution de systèmes d'équations, la recherche de points d'intersection, le tracé de graphiques, etc. Bonne pratique !
